医治解题之“病症”

发布时间:2020-02-17  点击量:

作者:张莉
  【摘要】中医诊断尚有“望闻问切”四种基本方法,数学题目灵活多变,数学教学的核心是解题,若把问题看作病症,怎么医治?笔者认为波利亚提出的解题四步骤,就是解题人的“望闻问切”。
  【关键词】“病症”  解题为核心  波利亚的解题理论
  【中图分类号】G634.55 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089(2019)50-0236-01
  相信每一位教学工作者,在考试结束之后,听到学生抱怨较多的是以下几个理由:某道题没有看懂题意,不会;某道题课堂上老师讲过类似的,但是我就是想不起来怎么做了;某道题考试时我和答案上想的一样,因为我的不确定解法的正误,就没有解答;某道题我会的,只是计算错啦;等等。笔者发现,在历届学生的反馈中都有类似问题,而教师大部分都会以基础知识不扎实,落实不到位,知识系统不完善等理由给学生分析问题。直到笔者学习了波利亚的解题四步骤理论,才发现给学生们分析的原因分明就是隔靴挠痒。以上学生们的种种抱怨,分明就是解题中的不同病症,而解题四步骤就是良药。下面简单介绍波利亚的解题四步骤方法。
  一、波利亚的解题理论
  波利亚的解题四步骤,就是明确如何审题。对于解题的先后顺序以及每一步的都有提示性的操作方法,使解题工作有法可依。
  第一步,理解题目
  提示性问题:未知量是什么?已知数据是什么?条件是什么?条件有可能满足吗?条件是否足以确定未知量?
  第二步,拟定方案——找出已知数据和未知量之间的联系
  提示性问题:你以前见过它吗?或者你见过同样的题目以一种稍有不同的形式出现吗?你知道一道与它有关的题目吗?这里有一道和你的题目有关而且以前解过。你能利用它吗?你能利用它的结果吗?你能利用它的方法吗?为了有可能应用它,你是否应该引入某个辅助元素?你能重新叙述这道题目吗?你还能以不同的方式叙述它吗?
  第三步,执行方案
  执行你的解题方案,检查每一个步骤。你能清楚的看出这个步骤是正确的吗?
  第四步,回顾
  提示性问题:你能检查这个结果吗?你能检验这个论证吗? 笔者认为,解题过程是一种心智技能。按照加里培林的心智动作形成阶段理论,需经过五个阶段:动作的定向阶段;物质与物质化阶段;出声的外部语言动作阶段,不出声的外部语言动作阶段;内部言语动作阶段。而波利亚的解题四步骤就是教师教授学生解题的“出声的外部语言动作阶段”,通过四步骤,就把数学解题转化为“内部言语动作”,最后使数学解题成为“训练学生思维的体操”。大部分学生在解题过程中面临的主要矛盾是,有相关的知识,或许是丰富的数学知识,但是就是不知道如何用来解一道相关的问题,不知道怎么切入。波利亚的解题四步骤就如中医疗法的“望闻问切”,为解题提供了一条阳光大道。
  下文结合高中数学的一道题来介绍波利亚的解题四步骤,分析方法,供读者参考,研究。
  已知曲线y=■x3+■,求曲线过点P(2,4)的切线方程。
  二、解题四步骤
  步骤1:理解题目
  依次从以下三个方面来分析问题:
  (1)未知量是什么?   求切线方程。
  (2)已知数据是什么?   曲线方程,点P坐标。
  (3)条件是什么?   曲线过点P。
  通过三个问题,用简洁,可操作的思维活动帮助学生快速熟悉问题,理解题意。
  步骤2:拟定方案   就是找出已知数据与未知量之间的联系
  就本道题而言,引导学生重点思考两个问题:
  (1)曲线的切线方程,如何求?
  分析:曲线方程是三次的,进一步思考,以前你解过求三次曲线在某点处的切线吗?这是一道课堂常规题:确定切点,求导得斜率,点斜式。
  (2)过点P的切线方程,什么意思?
  分析:找关键词,“过点P”.应理解为:点P可能是切点。故应先判断是切点吗?若是怎么求?若不是,怎么求?
  通过分析不难发现,在找已知数据与未知量联系的过程中,你或许考虑的是一道与它相关的辅助题目,或应用辅助题目的解题方法,或者是结论来分析此题。最终你应该得到一个使自己信服的解决方案。由于是从不同的方面分析问题,也促使你关注问题的细节,思维更严谨。
  步骤3:执行方案
  解∵显然点P(2,4)恰在曲线上,且f'(x)=x2
  由题意,以下对点P是不是切点分类讨论
  (1)若点P是切点,则斜率k=f '(2)=4
  则切线方程为:y-4=f '(2)(x-2)
  即:4x-y-4=0
  (2)若點P不是切点,可设切点为P0(x0,y0),则x0≠2.
  y-y0=f '(x0)(x-x0),又点P在切线上
  故4-y0=f '(x0)(2-x0)
  从而4-(x03+)=x02(2-x0)
  解得x0=-1,x0=2(舍)
  切线方程为:x-y-2=0
  综上,切线方程为:4x-y-4=0;或x-y-2=0
  步骤4:回顾   检查你的解答,使你的思路更清晰,简洁。
  就本例题而言,通过回顾就能解决学生可能出现的计算错误。把点带入所求方程验证。也更进一步完善学生知识体系中求切线方程的问题,进而通过一道问题,扩充到一类问题。
  三、一些感悟
  波利亚的解题四步骤,看似解决了一道问题,而是剖析题目的实质,通过相似问题间的辨析,找细微差异,进而理解了一类问题,事半功倍。由于不同层次的学生,在知识学习过程中有不同的差异,教师在教授的过程中,针对学生出现的问题,就能进行行之有效的帮助,达到分层教学的目的。当然,学生通过潜移默化,也能根据自我情况,从不同的侧面不同的层次进行解题训练,形成有效的学习方法。对于学生养成良好的数学学习习惯,发展自主学习的能力,进而提高学生学习数学的兴趣,增强学好数学的兴趣是行之有效的,进而完成高中数学课程目标的要求。
  参考文献:
  [1]《普通高中数学课程标准(2017年版)》
  [2]G﹒波利亚.冯承天译.怎样解题[M].上海科技教育出版社,2011.

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