因式分解的另类思路

发布时间:2020-01-28  点击量:

作者:刘小林
  【摘要】分解因式是代数里面重要的一部分知识,但是学生对于如何快速、准确的分解因式有一定的困难,本文结合教学中的常见到的题目并从项数的角度出发,解析快速因式分解的方法。
  【关键词】分解因式  项数  分组分解  十字分解  双十字分解
  【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089(2019)51-0137-01
  在初中阶段,分解因式是代数里面重要的一部分知识,但是学生对于如何快速、准确的分解因式有一定的困难,对此,笔者结合教学中的常见到的题目从项数的角度出发,解析快速因式分解的方法。
  一、当多项式有两项时:
  当多项式有两项时,无非是提取公因式或用平方差公式、立方和公式、立方差公式。
  例1:分解因式:①ab+bc    ②a2-b2   ③a3+b3      ④a3-b3
  分析:①提公因式法:原式=b(a+c)
   ②平方差公式:原式=(a+b)(a-b)
   ③立方和公式:原式=(a+b)(a2-ab+b2)
  ④立方差公式:原式=(a-b)(a2+ab+b2)
  二、当多项式有三项时:
  多用完全平方公式、十字相乘法。
  例2:分解因式:①a3+2a2b+ab2  ②x2+4x+3
  分析:①先提公因式,再用完全平方公式分解
  原式=a(a2+2ab+b2)=a(a+b)2
  ②十字分解法
  原式=(x+1)(x+3)
  三、当多项式有四项时:
  多用分组分解法,常见的有二二型、三对一型或一对三型。
  例3:分解因式:①ax+ay+bx+by ②a2+2a+1-b2
  ③b2-a2-2a-1
  分析:①二二型
  原式=a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y)
  ②三对一型
  原式=(a+1)2-b2=(a+1+b)(a+1-b)
  ③一对三型
  原式=b2-(a+1)2=(b+a+1)(b-a-1)
  四、当多项式有五项时:
  多用分组分解法或双十字相乘法,常见的有“二、三型”或“三、二型”。
  例4:分解因式:①4x2-9y2+6x+3y+2
  ②x4+x3+6x2+5x+5
  分析:①双十字相乘法
  原式=(2x+3y+1)(2x-3y+2)
  ②双十字相乘法将x4+x3写成x(x+1)x2,6x2+5x写成(6x+5)x。
  →x+5x+5=6x+5
  所以原式=(x2+5)(x2+x+1)
  五、当多项式有六项时:
  多用分组分解法或双十字相乘法,常见的有“三、三型”或“二、二、二型”。
  例5:分解因式:①ab+ac+mb+mc+nb+nc
  ②a2-2a+1-b2-2by-y2
   ③2x2+xy-y2-4x+5y-6
  分析:①“二、二、二型”
  原式=a(b+c)+m(b+c)+n(b+c)=(b+c)(a+m+n)
   ②“三、三型”
  原式=(a-1)2-(b+y)2
   =(a-1+b+y)(a-1-b-y)
  ③∵2x2+xy-y2=(2x-y)(x+y)
   →-4x+5y
   ∴原式=(2x-y+2)(x+y-3)
  六、除此之外,還常用待定系数法、添拆项法,值得一提的是用因式定理和综合除法。
  例6:分解因式x2+2x3-9x2-2x+8
  分析:观察系数可知x=±1时,多项式的值为0.则多项式含有因式(x+1)(x-1),利用综合除法可得原式=(x+1)(x-1)(x+4)(x-2)。
  综上所述,总结因式分解的思路和解题步骤:1.先看各项有无公因式,若有公因式,则先提取公因式;2.再看能否使用公式法,对于二项三项式还能看能否利用十字相乘法;3.四项或四项以上的多项式,可考虑用分组分解法,有时需要添拆项;  4.可用换元法、双十字相乘法、待定系数法等来因式分解。因式分解注意事项:1.看清指定范围内分解到不能再分解为止。2.忌盲目下手,应根据项数特点来进行。3.最后相同因式应写成幂的形式并审查每个因式是否还可以继续分解。

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