关于有理函数教学的几点思考

发布时间:2019-04-23  点击量:

作者:李莹莹
  【摘要】本文通过高等数学的两个知识点,有理函数求极限和有理函数找间断点分析并阐述了掌握有理函数运算原理的重要性,以及数学教学的目的和意义在于让学生具备一定数学素养,养成科学有效的思考方式。
  【关键词】有理函数 极限 间断点
  【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089(2019)09-0134-02
  我们研究数是从整数到分数,正数到负数,最终学习了有理数运算的理论,学习代数式是从整式到分式,但却没有在中学给学生形成有理函数运算的一般理论。高等数学第一章讲完函数极限定义后,我们重点研究了有理函数的极限,但这时很多学生对有理函数这个概念是陌生的,有函数即多项式的商,下面我们分别来看看国内中学的竞赛题和SAT考试题:
  1.已知多项式6x2+7x+k能够被2x+1整除,求k的值。
  2.Give the ploynomial 6x4+2x2-8x-c, where c is a constant,for what value of c will have no remainder?
  这两个题目考查的是相同问题,要求学生明白多项式乘除的一般原理,就像弄明白有理数的运算规则是一样的。
  解:根据已知条件6x2+7x+k=(2x+1)P(x),6x4+2x2-8x-c=(x+2)Q(x),P(x),Q(x)分别是一次和三次多项式,将x=- ,x=-2分别代入方程6x2+7x+k=0,6x4+2x2-8x-c=0,得k=2,c=2。
  在国内这不是升学考试的重点内容,而被学生忽视了,或者说我们的学习太功利,目标太明确了,从而抛弃了某些基本理论,规避了学习数学的除了升学之外的意义。都说数学是思维的体操,这句话有点太老套了,但我们确实需要有科学、有效的思考方式,以应对成长、生活、工作中的各种问题,这也是我们在每一个阶段都需要学习数学知识的主要原因。
  高等数学学习有理函数主要研究了两个问题,有理函数的极限和原函数,在有理函数求极限、有理函数找间断点的过程中,有理函数的基本运算和性质都是至关重要的。
  3.求极限
  解:分子分母都趋向于零,在没有学习洛必达法则之前我们需要将分子因式分解,如果知道多项式乘除的原理,处理起来很顺利,x5+x3+x+3=(x+1)(x4-x3+2x2-2x+3),约分后代入求值,得结果9,否则需要学生填项完成因式分解,首先这不是所有学生都能想得到的,再则,当题目换成 ,学生需要再次通过填项完成因式分解,分解的难度也增大了。我们在教学中应该提倡的是第一种解决方案,用一个理论,一种方法处理一类问题,尽量减少特殊方法,解题技巧,一些基本的论理在平时的教学中必须重点去处理,让学生形成正确的思维方式。
  4.求函数f(x)= 的间断点
  解:f(x)的定义域是x≠-3,1
  x=-3是无穷间断点,x=1是可去间断点。
  在学习间断点之前,我们首先应该通过研究函数的图像,知道x≠-3,1这两个限制条件分别是函数的铅直渐近线和“洞”,这样在找间断点并判别类型时,根据极限学生在已知有理函数不同限制条件在图像上的表现后,能更好地理解间断点及其分类。
  学生学习数学,老师讲授数学,除了考試升学之外,我们更应该让学生具备一定的数学素养,养成科学有效的思考方式。国外中学数学教材在讲到轴对称的时候,用到了镜子,让学生通过镜子来理解什么是轴对称,大家会觉得数学怎么这么不严谨了,但这正应该是我们具备的一种思考方式,用你能够使用的工具,能够想到的办法去解决实际问题。而不是像我们在解某些数学题的时候,经历了多次的推导演算,山路十八弯,才得到答案,一个班上只有个别学生能想到思路。这样的思考方式不具备普遍性,也不是绝大多数人能完成的事,不应成为我们教学的主体。
  我们在教学中应该重点讲解解题的一般思路,一般方法,顺应知识点来解题让大家的思考,每一种方法都有支点(概念、定理、性质),每一个想法都不是无水之源,做我们能做的事情,想我们可以想到的方法,别总把数学解释的高深莫测,让数学惠及每一个人。
  参考文献:
  [1]同济大学数学系,《高等数学》(第七版),高等教育出版社,2014.7.
  [2]人民教育出版社教学资源编辑室,《教材解读》(数学,八年级,上册),人民教育出版社,2017.5.
  [3]黄伯强,《有理分式函数的部分分式分解》,南京工程学院学报,2008.6.

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